երկրաչափություն

Տանը

Screenshot_2021-11-19 erkr_8_atanasyan pdf

Դիտարկենք մի պատկեր, որը կազմում է AB, BC, CD, …, EF, FA հատվածներից այնպես, որ կից հատվածները, այսինքն AB և BC, BC և CD, …, FA և AB հատվածները, չեն գտնվում մի ուղղի վրա, իսկ ոչ կից հատվածները ընդհանուր կետ չունեն։ Այդպիսի պատկերը կոչվում է բազմանյկուն։

2․

Բազմանկյունը կոչվում է ուռուցիկ, եթե այն ընկած է իր ցանկացած երկու հարևան գագաթներով ուղղի մի կողմում։

3․

A1 գագաթը անկյունագծերով միացնենք մյուս գագաթներին։ Արդյունքում ստացվում են n — 2 հատ եռանկյուններ։

(n — 2) x 180

Այսպիսով՝ ուռուցիկ n — անկյան անկյունների գումարը (n — 2) x 180

Անկյունագծեր — AC, BD

Հանդիպակած կողմեր — ZB և CD, BC և AD

Հանդիպակած գագաթները — A և C, B և D

Հանդիպակած անկյունները — անկյուն A և անկյուն C, անկյուն B և անկյուն D

(n — 2) x 180

Սահմանում

Զուգահեռագիծ կոչվում է այն քառանկյունը, որի հանդիպակած կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են։

Պատ՝․ այո։

7․

Զուգահեռագծի հանդիպակաց կողմերը հավասար են, և հանդիպակած անկյունները հավասար են։

Դիտարկենք ABCD զուգահեռագիծը։ AC անկյունագծով այն տրոհվում է երկուABC և ADC եռանկյունների։ Այդ եռանկյունների մեջ AC կողմը ընդհանուր է, ∠1 = ∠2 և ∠3 = ∠4, որպես խաչադիր անկյուններ, որոնք առաջանում են համապատասխանաբար , AB և CD, BC և AD զուգահեռ ուղիղները AC հատողով հատելիս։ Ուրեմն ABC և ADC եռանկյունները հավասար են։ Ուստի՝ AB = CD, AD =BC և ∠B = ∠D: Այնուհետև, օգտվելով անկյուններ 1-ի և 2-ի, 3-ի և 4-ի հավասարությունից, ստանում ենք․

∠A = ∠1 + ∠3 = ∠ 2 + ∠4 = ∠C

Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատման կետով կիսվում են։

Դիցուք ABCD զուգահեռագծի AC և BD անկյունագծերի հատման կետը O-ն է։ AOB և COD եռանկյունները հավասար են՝ ըստ կեղմի և նրան առընթեր անկյունների (AB = CD` որպես զուգահեռագծի հանդիպակաց կեղմեր ∠1 = ∠2 և ∠3 = ∠4, որպես խաչադիր անկյուններ, որոնք առաջանում են AB և СD զուգահեռ ուղիղները համապատասղանաբար AC և BD հատողներով հատելիս)։ Ուրեմն՝ AO = OC և OB = OD, ինչը և պահանջվում էր ապացուցել։

9․

Դիտարկենք զուգահեռագծի երեք հայտանիշներ։

Եթե քառանկյան երկու կողմերը հավասար են և զուգահեռ, ապա այդ կողմերը հավասար են և զուգահեռ, ապա այդ քառանկյունը զուգահեռագիծ է։

Դիցուք՝ ABCD քառանկյան AB և CD կողմերը զուգահեռ են և AB = CD: Տանենք AC անկյունագիծ, որը զուգահեռագիծը տրոհում է երկու՝ ABC և CDA եռանկյուննեի։ Այդ եռանկյունները հավասար են՝ ըստ երկու կողմի և նրանց կազմված անկյունների (AC-ն ընդհանուր կողմ է, AB = CD` ըստ պայմանի, ∠1 = ∠2՝ որպես խաչադիր, որոնք առաջանում են AB և CD զուգահեռ ուղիղներից AC հատողով հատելիս)։ Հետևաբար՝ ∠3 = ∠4։ Բայց անկյուններ 3-ը և 4-ը խաչադիր են, որոնք առաջանում են AD և BC ողիղները AC հատողով հատելիս։ Դրանից հետևում է, որ AD II BC : Այսպիսով՝ ABCD քառանկյան հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ զուգահեռ են։ Ըստ սահմանման՝ այդ քառանկյունը՝ ABCD-ն, զուգահեռագիծ է։

Եթե քառանկյան հանդիպակաց կողմերը զույգ առ զույգ հավասար են, ապա այդ քառանկյունը զուգահեռագիծ է։

Տվյալ ABCD քառանկյան մեջ տանենք AC անկյոնագիծ։ Քառանկյունը տրոհվում է երկու՝ ABC և CDA եռանկյունների։ Այդ եռանկյունները, ըստ երեք կողմի, հավասար են (AC-ն ընդհանուր կողմ է, իսկ ըստ պայմանի AB = CD և BC = DA )։ Ուրեմն՝ ∠1 = ∠2։ Այստեղից հետևում է, որ AB II CD։ Ստացվեց, որ AB=CD և AB II CD, ուստի ըստ զուգահեռագծի 1-ինհայտանիշի՝ ABCD քառանկյունը զուգահեռագիծ է։

Եթե քառանկյան անկյունագծերը հատվում և հատման կետով կիսվում են,ապա այդ քառանկյունը զուգահեռագիծ է։

Դիտարկենք ABCD քառանկյունը, որում AC և BDանկյունագծերը O կետում հատվում և այդ կետով կսիվում են։ AOB և COD եռանկյունները հավասար են՝ ըստ եռանկյունների հավասարության առաջին հայտանիշի (AO = OC, BO = OD ըստ պայմանի, ∠AOB = ∠COD որպես հակադիր անկյուններ)։ Ուստի` AB = CD և ∠1 = ∠2

10.

Սահմանում

Եռանկյան երկու կեղմերի միջնակետերը միացնող հատվածը կոչվում է եռանկյան միջին գիծ։

եռան միջին գիծը զուգահեռ է նրա կեղմերից մեկին և հավասար է այդ կողմի կեսին։